0.3+0.3+0.3+0.1=1
3*0.3+0.1=1

a1=1/3=0.3+0.1/3
1/3=3k/10+0.1/(3k)=3/10+0.1/3=0.3+0.1/3


a1=3/10+a2=0.3+0.1
a2=0.1/3=0.03+0.03+0.03+0.01=9/100+1/100=10/100=1/10

ak=ak-1+3/10^k+1/10^k

ak-1=0
a1=3/10+1/10

a1=0.3=0.1*3=3/10^1=3/10^1=0.3
a2=3/10^2=0.03
a3=3/10^3=0.003
ak=3/10^k

a1+a2+a3=0.3+0.03+0.003=0.333

Sn =  S от 1 до n по k  ak = S от 1 до n по k  (3/10^k) = 3* S от 1 до n по k  (10^-k) =
3*(10^-1+10^-2+10^-3+.....+10^-n)=3*(10^-1+10^-2+10^-3+.....+10^-n)*(10-1)/(10-1)=3*(1+10^-1+10^-2+.....+10^-(n-1)-10^-1-10^-2-10^-3-.....-10^-n)/9=
1/3*(1-10^-n)=1/3(1-1/10^n)

Sn=1/3(1-1/10^n)
Lim Sn от 0 до бесконечности =1/3(1-1/10^-n)=1/3*(1-0)=1/3
бесконечная сумма ak=0.000000000003  k нулей и так до бесконечности=0.(3)=1/3

Ответ: 1/3=0.(3)